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　　 为一只股票在下一时间段价格上涨的概率，那么这种赌 博在i-1时刻的期望收益为：

　　 “ 公平”一词在赌博中的含义是什么？  假如你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由 谁来负责打扫寝室，如果出现2至6点则明天由你来打扫 寝室，如果出现点数1则明天由他来负责打扫，你认为此 次“ 赌来自”是否是“ 公平”的？

　　 现在我们考虑一个有n个交易时间段的股票期权，设每个 时间段的名义利率均为r。  用S(0)表示股票的初始时刻价格， S(i)表示股票在第i个时 刻的价格，其中i=1,…,n。  假设S(i)的取值只可能是uS(i-1)或dS(i-1)，其中d1ru.  假设我们在0时刻购买了一个n时刻到期的，执行价格为K 的上述股票的欧式看涨期权。在0时刻到n时刻之间，股 票可以在任意时刻买进或卖出。

　　 定义在试验的可能结果上的一个概率测度，如果它使得 所有的赌博都是公平的，那么这个概率测度称为风险中 度概率测度。

　　常用“ 赔率”的形式表示。  如果关于结果i 的赔率是oi (通常表示为“oi 比1”)，那么当试验的 结果是i 时，一个单位的赌金会收益oi ，而当结果不是i 时收益则 会是-1. 这个赌博的收益函数可由下式给出

　　 这就是无套利的风险中度概率。  下面我们在此结果的基础上讨论期权的无套利定价。  定义 (Z)=max(0,Z)

　　 这是一个参数为n和p的二项分布随机变量。  n时刻股票的价格可以表示为：

　　 现在我们把刚才的那场“ 赌博”中的“ 赌注”改一下。  还是你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负 责打扫寝室，这次是如果出现2至6则明天由你来打扫寝室， 如果出现点数1则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次 “ 赌博”是否是“ 公平”的？  事实上，赌博的公平性是和概率中的一个 概念“ 期望”密切相关的。

　　 下面我们来看一个例子：一个赌博有三种结果，其赔率 如下 结果 1 2 3 赔率 1 2 3

　　 由上表可知，结果1的赔率是1比1；结果2的赔率是2 比1；结果3的赔率是3比1.

　　 我们可以把随机向量(X1,X2,…,Xn)看作是试验结果。由套 利定理知，为了不存在套利机会，在这个结果集上必存 在一个使得所有的赌博都是公平的概率测度。即存在一 个概率集合  P{X1=x1,…, Xn=xn}, xi=0,1, i=1, …,n  使得所有的赌博都是公平的。

　　 考虑下面的赌博：选定一个i (i=1, …,n)和一个向量(x1,…, xi-1)，该向量的每个元素取值为0或1.  观察前个时间段股价的变化，如果对每个j (j=1, …,i-1)都 有， Xj=xj那么就立刻购买一个单位股票并在下一时刻将 其卖出。  若我们在i-1时刻购买股票将花费S(i-1) ，下一时刻股票上 涨则卖出得uS(i-1)，现值为(1r)-1uS(i-1)；下一时刻股票 下跌则卖出得dS(i-1)，现值为(1r)-1dS(i-1)。

　　 因此，无论何种情形都会有一个正的收益。  事实上，我们可以证明如果有

　　 由于所有pi 的和必须为1，这就意味着这场赌博保证“ 公平”的条 件是

　　 如果上式不满足，我们就可以通过选择合适的赌博方式来获得 “ free lunch”！  我们假设你可以在某个结果上押-1个单位的赌金，如果你押-1个 单位的赌金在结果i上时，那么意味着当结果不是i 时你可以赢得 一个单位的赌金，而当结果是i 的时候你将输掉oi个单位的赌金。

　　 比如对于第一次赌博，我们将你赢得的劳动天数记为随 机变量X，则它的概率分布为： X P -1 1/6 1 5/6

　　 所以刚才的那次赌博确实不是“ 公平”的，由于你平均赢 得的劳动天数是一个正数，我们可以确定你在这次赌博中 处于“ 不利地位”。

　　 向量x=(x1,x2,…,xn)称为赌博策略，其中xi表示有xi个单位的赌金 投在赌博结果i上。  若试验的结果是j，则由策略x得到的收益可由下式表示：

　　 下面介绍的套利定理表明，在试验的所有可能结果所构成的集 合上，要么存在一个概率向量p =(p1,p2,…,pm)，使得在此概率 下每种赌博结果的期望收益为零；要么存在一个赌博策略，在 此策略下试验出现任何结果都会得到一个正的收益。

　　 概率的历史源于中世纪的赌博问题。  意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为 “ problem of points”的赌博问题。  1654年，帕斯卡[Pascal]的朋友， 一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人 们所知道的“ 德•美尔”问题，帕斯卡与 朋友费尔马书信交流，成为概率论的实 质性出发点。

　　 “ 德•美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押32 个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌博 进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这时 赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？

　　 套利定理：下面两个结论有且仅有一个结论是正确的， 即要么  （1）存在一个概率向量p =(p1,p2,…,pm)使得

　　 我们用一个最近现实中博彩的例子来结束赌博中的概率这一问 题的讨论。  2009年10月21日，网易体育频道报道了英超的战况，并公 布了最新的夺冠赔率。  切尔西 2.75 埃弗顿 501.0  Q：你认为21日的赔率对你来说是否有套利的可能？20日的 呢？对于有套利可能的情形给出你的投资策略。

　　 考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合为{1， 2，…，m}，现有n个不同的赌博结果与此试验有关。  假设我们在第i个赌博结果中投入了x单位的赌金，若试验 结果是j (j=1,2…,m)，可以得到收益xri(j)，其中ri(•)是在 第i个赌博结果上投入一个单位赌金的收益函数。  投入的赌金数量可以是正的、负的或零。

　　 所以第二种赌博方式对于你来说是公平的。  有的时候，赌博的公平性是很难直观看出来的，这时要 用刚才介绍的数字期望与公平性的关系进行判断。  在非公平的赌博中，我们可以进行适当的计算从而进行 “ 套利”，得到一份“ Free Lunch”。  下面我们介绍套利定理，以及如何在确定赌博不公平的 时候用适当的策略进行套利。

　　 如果在一次赌博中，每个赌徒赢得的赌金的数学 期望都是零，则这次赌博是公平的。

　　 古典概型（等可能概型）  投掷一个骰子，出现点数6的概率为1/6.  于是甲在第四局赌博中获胜的概率为  1/2  甲在第四局落败在第五局获胜的概率为  (1/2)×(1/2)= 1/4  于是甲最终获胜的概率为